Wartość pieniądza w czasie

1. PODSTAWOWE INFORMACJE

Oprocentowanie – wyznaczanie przyszłej wartości danej kwoty kapitału przy określonych warunkach tj. czasu trwania lokaty i stopy procentowej.
Dyskontowanie – działanie odwrotne do oprocentowania i polega na poszukiwaniu wartości bieżącej danej kwoty kapitału przy określonych warunkach.
Przy wyznaczaniu wartości pieniądza w czasie posługuje się następującymi zmiennymi:
– PV – wartość bieżąca (Present Value),
– FV – wartość przyszła (Future Value),
– t – okres czasu (czas trwania lokaty lub umowy kredytu),
– r – stopa procentowa.
Dodatkową zmienną może być wielkość odsetek uzyskanych w dowolnym okresie, którą oznacza się symbolem I. Odsetki wyznacza się następująco:

I = FV – PV

Przy wyznaczaniu zmiany wartości pieniądza w czasie stosuje się rachunek odsetek prostych oraz rachunek odsetek złożonych.

2. ODSETKI PROSTE

Rachunek odsetek prostych – odsetki nalicza się zawsze od tej samej kwoty kapitału. Uzyskane odsetki nie powiększają początkowej kwoty pieniędzy, lecz po naliczeniu są na bieżąco pobierane. Odsetki osiągnięte w każdym miesiącu będą miały identyczną wielkość, pod warunkiem, że stopa procentowa nie ulegnie zmianie. Do obliczenia wartości pieniądza w czasie wykorzystuje się następujące wzory:
a) Kwota odsetek uzyskanych w dowolnym okresie

I = PV × r × t

b) Wartość przyszła danej kwoty kapitału

FV = PV × (1 + r × t)

c) Wartość obecna danej kwoty kapitału

d) Wartość przyszła, gdy stopy procentowe są zmienne

FV = PV × (1 + r₁ × t₁ + r₂ × t₂ + … + r_n × t_n)

Stopa procentowa (r) i czas (t) muszą być zawsze wyrażone dla tych samych okresów czasu.
W Polsce obowiązuje podatek dochodowy od zysków z inwestycji kapitałowych w wysokości 19 %. Zmniejsza on wielkość odsetek osiąganych od ulokowanych w bankach pieniędzy, a także wielkość zysków osiąganych od pieniędzy zainwestowanych np. w akcje.Podatek od zysków z inwestycji kapitałowych musi być liczony, jeżeli chcemy wyznaczyć wartość pieniądza w czasie. Dlatego wyznacza się faktyczną stopę procentową ze wzoru:

r_f = r_n × (1 – T)

gdzie:
T – stopa podatku dochodowego od zysków z inwestycji (19%)

Podatek nie jest pobierany przy wyznaczaniu odsetek od kredytów i pożyczek lub przy sprzedaży ratalnej.

3. ODSETKI ZŁOŻONE

Rachunek odsetek złożonych – tutaj naliczane odsetki w kolejnych okresach są kapitalizowane. Kapitalizacja + odsetki nie są na bieżąco wypłacane, tylko powiększają pierwotną kwotę kapitału. W tej sytuacji odsetki za kolejny okres wyznacza się od początkowej kwoty kapitału powiększonej o dotychczas uzyskane odsetki np. lokata bankowa. W tym rachunku kwota np. lokaty będzie wzrastała w szybszym tempie, niż w rachunku odsetek prostych. Tempo wzrostu kapitału początkowego zależy od ilości kapitalizacji. Wartość pieniądza w czasie wyznacza się z następujących wzorów:
a) Odsetki za dany okres trwania lokaty

I = PV × (1 + r)^i-1 × r

gdzie:
i – dowolny okres trwania lokaty lub kredytu

b) Wartość przyszła danej kwoty kapitału

FV = PV × (1 + r)^t

c) Wartość obecna danej kwoty kapitału

d) Wartość przyszła, gdy stopy procentowe są zmienne

FV = PV × (1 + r₁)^t₁ × (1 + r₂)^t₂ × … × (1 + r_n)^t_n

e) Stopa procentowa w rachunku odsetek złożonych

f) Okres czasu w rachunku odsetek złożonych

W rachunku odsetek złożonych stopa procentowa i czas muszą być wyrażone dla tych samych okresów czasu, w których następuje kapitalizacja odsetek.
Podatek dochodowy od zysków z inwestycji kapitałowych uwzględniany jest w tym rachunku w ten sam sposób jak w przypadku odsetek prostych. W rachunku tym odsetki będą pomniejszane o podatek dochodowy, a dopiero później powiększą kapitał początkowy. Uzyskana w ten sposób kwota będzie stanowić podstawę do naliczenia odsetek w następnym okresie.

4. PŁATNOŚCI OKRESOWE

Wyróżniamy tutaj następujące płatności okresowe:
a) przepływy pieniężne,
b) renty.
Przepływy pieniężne – szereg płatności dokonywanych w dowolnej kwocie i w dowolnych odstępach czasu np. miesięczne wynagrodzenie za pracę. W zależności od momentu dokonywania płatności wyróżnić można dwa rodzaje przepływów pieniężnych: z góry i z dołu. Przepływy z góry występują wtedy, gdy kolejne płatności dokonywane są na początek każdego okresu. Natomiast przepływy z dołu mają miejsce, gdy płatności dokonywane są na koniec każdego okresu. Przepływ pieniężny oznacza się symbolem CF (Cash Flow). Dla grupy przepływów wyznaczyć można odpowiednio wartość przyszłą lub wartość bieżącą. Wartość przyszłą przepływów pieniężnych (FVCF) należy sprowadzić do wartości w ostatnim okresie i następnie zsumować.
Renty – szereg płatności dokonywanych zawsze w jednakowej kwocie w równych odstępach czasu. Płatności te mogą przypadać na początek lub na koniec każdego okresu. Wyróżniamy dwa rodzaje rent:
– renty zwykłe,
– renty należne.
Renty zwykłe – szereg równych płatności dokonywanych w równych odstępach czasu na koniec każdego okresu.
Renty należne – szereg równych płatności dokonywanych w równych odstępach czasu na początek każdego okresu.
Wyznacza się tutaj również wartość przyszłą lub obecna za pomocą następujących wzorów:
a) Wartość przyszła renty zwykłej

gdzie:
A – stała płatność dokonywana w ramach renty
n – liczba dokonanych płatności w ramach renty

b) Wartość przyszła renty należnej

c) Wartość obecna renty zwykłej

d) Wartość obecna renty należnej

Wzory można stosować tylko wtedy, gdy spełnione są dwa następujące warunki: stopa procentowa jest stała przez cały okres, a kolejne płatności następują w tych samych okresach co kapitalizacja. Gdy jeden z tych warunków nie jest spełniony to renty należy traktować jako przepływy pieniężne. Omówione tutaj renty należą do tzw. grupy rent czasowych, gdyż liczba dokonywanych płatności jest skończona. Wyróżniamy także płatności, które są dokonywane cały czas (bezterminowo). Jest to renta wieczysta (dożywotnia).
Renta wieczysta (dożywotnia) – szereg jednakowych płatności dokonywanych w nieskończoność lub do śmierci zainteresowanej nią osoby. W rencie tej nie można wyznaczyć wartości przyszłej, tylko bieżącą za pomocą następujących wzorów:
a) Wartość obecna renty dożywotniej zwykłej

gdzie:
P – kwota wypłacana jako renta wieczysta

b) Wartość obecna renty dożywotniej należnej